• admin
  • Комментариев: 0
  • Просмотров: 198
  • 19-11-2015, 15:11

В курсі алгебри середньої школи виводиться формула для вирішення квадратного рівняння, а з курсу фізики видно, наскільки ця формула для вирішення багатьох фізичних питань (наприклад, в завданнях, пов'язаних з рівноприскореним рухом тощо).

Не меншу роль, ніж квадратні рівняння, грають в математиці і її додатках рівняння третього і більш високих ступенів. Люди майже так само давно почали займатися рівнянь вищих ступенів, як і квадратними рівняннями. Відомі вавилонські клинописні таблички, в яких вирішуються деякі кубічні рівняння. Незважаючи на те, що цим питанням займалися так давно, основні факти про рівняннях вищих степенів були відкриті тільки в XIX столітті. Ця лекція присвячена огляду деяких основних властивостей рівнянь вищих степенів.

Спосіб, яким ми будемо виводити властивості рівнянь вищих ступенів, різко відрізняється від того способу, за допомогою якого в курсі алгебри середньої школи виводять властивості квадратних рівнянь. Майже всі властивості квадратних рівнянь виводяться з формули для їх рішення, ми ж не будемо виводити формулу для розв'язування рівнянь вищих степенів, а отримаємо їх властивості деяких загальних алгебраїчних і геометричних міркувань.

Справа в тому, що для більшості рівнянь вищих ступенів не існує такої формули, як для рівнянь другого ступеня. У тих же випадках, де така формула є, вона настільки складна, що з неї неможливо вивести ніяких властивостей рівняння. Але й незалежно від цього, наш шлях має ще одну перевагу: він робить більш зрозумілою справжню причину тих фактів, які доказуються.

Усі міркування, які тут будуть наведені, годяться для рівнянь будь-якого ступеня. Часто вони будуть викладені у загальному вигляді. У деяких же випадках, коли міркування в загальному випадку принципово те ж, але подовжує викладку, ми будемо приводити його лише для рівнянь третього ступеня і тільки формулювати те, що вийде в загальному випадку. Дуже рекомендується провести всі міркування самостійно в загальному випадку.

Нарешті, зовсім випущені докази фактів, подібних до наступного: якщо графік многочлена має точки по різні сторони осі x, то він цю вісь перетинає. Ймовірно, деякі читачі не відчують потреби в доказі подібних пропозицій. Той же, хто забажає провести ці докази, легко зробить це за допомогою простих властивостей неперервних функцій, про які можна довідатися з перших глав будь-якого курсу аналізу.

У цій книжці ми будемо займатися тільки властивостями дійсних коренів рівнянь, так що від читача не потрібно знання властивостей комплексних чисел. Зауважимо, що властивості комплексних коренів рівнянь можуть бути виведені за допомогою таких методів, але дещо ускладнених.