• admin
  • Комментариев: 0
  • Просмотров: 361
  • 6-03-2015, 00:07

Цілі уроку:

1. Познайомитися з новими галузями науки. Продемонструвати зв'язок таких наук як геометрія, алгебра та інформатика.
2. Познайомитися з принципами побудови геометричних фракталів.
3. Розглянути подібність різних геометричних фігур на прикладі геометричних фракталів.
4. Повторити формулу n-го члена геометричної прогресії.

Хід уроку

1. Розглянути галерею фракталів.

2. Заслухати повідомлення учнів про історію виникнення фрактальної геометрії.

3. Дати визначення фракталів.

Визначення фрактала, дане Мандельброт, звучить так: «Фракталом називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого».

4. Розмірність фракталів.

Однією з ідей, які виросли з відкриття фрактальної геометрії, була ідея нецілих значень для кількості змін у просторі. Ми знаємо, що Евклідова геометрія вивчає фігури з розмірністю 1, 2, 3 (довжина, ширина, висота). Фігури з розмірністю 1 - це відрізок, з розмірністю 2 - фігура на площині (наприклад, квадрат, трапеція, трикутник), 3 - геометричні тіла (наприклад, куб, куля, піраміда тощо)

Одним з основних властивостей фракталів є самоподібність. У найпростішому випадку невелика частина фрактала містить інформацію про фракталів.

Якщо дивитися з математичної точки зору, то розмірність визначається наступним чином.

Для одновимірних об'єктів - збільшення в 2 рази лінійних розмірів призводить до збільшення розмірів (в даному випадку довжини) в 2 рази, тобто в 21.

Для двомірних об'єктів збільшення в 2 рази лінійних розмірів призводить до збільшення розміру (площі) в 4 рази, тобто в 22. Наведемо приклад. Дано коло радіуса r, тоді S= π r2.

Якщо збільшити в 2 рази радіус, то: S1 = π(2r2 ); S1= 4πr2 .

Для тривимірних об'єктів збільшення в 2 рази лінійних розмірів призводить до збільшення обсягу в 8 разів, тобто 23.

Якщо ми візьмемо куб, то V=а3, V'=(2а)3=8а; V'/V= 8.

Однак природа не завжди підпорядковується цим законам. Спробуємо розглянути розмірність фрактальних об'єктів на простому прикладі.

Уявімо собі, що муха хоче сісти на клубок вовни. Коли вона дивиться на нього здалеку, то бачить лише точку, розмірність якої 0. Підлітаючи ближче, вона бачить спочатку коло, його розмірність 2, а потім куля - розмірність 3. Коли муха сяде на клубок, вона кулі вже не побачить, а розгляне ворсинки, нитки, порожнечі, тобто об'єкт з дробовою розмірністю.



Розмірність об'єкта (показник ступеня) показує, по яким законом зростає його внутрішня область. Аналогічним чином із зростанням розміру зростає «обсяг фрактала». Вчені прийшли до висновку, що фрактал - це безліч з дробовою розмірністю.

5. Розглянути принцип побудови геометричних фракталів.

Фрактали цього класу найбільш наочні. У них відразу видно самоподобность.

Їх отримують шляхом простих геометричних побудов. Надходять наступним чином: береться відрізок або геометрична фігура, на підставі яких буде будуватися фрактал. Далі вибирається набір правил, який перетворює наш відрізок в нову геометричну фігуру. Потім до кожної частини отриманої фігури застосовують той же набір правил. З кожним кроком фігура буде ставати все складніше і складніше. І якщо ми проведемо велику кількість перетворень, то отримаємо геометричний фрактал.

5.1 Завдання №1

Побудувати геометричний фрактал «Крива Коха»


Розглянути самоподобность окремих елементів фрактала.

Розрахувати довжину відрізка після 5 генерацій. Розрахувати довжину відрізка після 5 генерацій, якщо довжина початкового відрізка 10 див.

5.2 Завдання №2

Розглянемо «Трикутник Серпінського». Для цього беремо рівносторонній трикутник, потім відзначаємо середини сторін. проводимо середні лінії і виключаємо середній трикутник. В останніх трьох трикутниках знову проводимо середні лінії і виключаємо середні трикутники і т. д. Якщо ми тепер візьмемо будь утворених трикутників і збільшимо його - отримаємо точну копію цілого. В даному випадку маємо справу з повним самоподобием.


«Змоделювати геометричний фрактал «Трикутник Серпінського» і розрахувати площу трикутника після 10 генерацій».

Рішення:

Нехай сторона трикутника дорівнює 32 див.
Знайдемо площу 10-ого трикутника S10=?

Ми знаємо формулу для знаходження n-го члена геометричної прогресії: b10 = b1*q^(n-1)
q=1/2, значить b10=32*(1/2)^9, b10=1/16.
S10=1/2* b210*sin, =60o, т. к. трикутник рівносторонній.
S10=1/2*b210*3/2,
S10=3/1024 мс.

Відповідь: 3/1024 див.

6. Показати застосування геометричних фракталів в науці і техніці на прикладі телекомунікацій.

Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який жив тоді в центрі Бостона, де була заборонена установка на будівлях зовнішніх антен. Коен вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха і потім наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилося, що така антена працює не гірше звичайного. І хоча фізичні принципи такої антени не вивчені досі, це не завадило Коену обґрунтувати власну компанію і налагодити їх серійний випуск. У даний момент американська фірма "Fractal Antenna System"розробила антену нового типу. Тепер можна відмовитися від використання в мобільних телефонах стирчать зовнішніх антен. Так звана фрактальна антена розташовується прямо на основній платі всередині апарату.


7. Показати принцип моделювання об'єктів живої природи.

Для побудови фрактального дерева використовуємо програму «Побудова геометричних фракталів», розроблену кафедрою «Інформатика» ДДТУ.

Приймемо довжину початкового відрізка дорівнює 30 див. Задамо кут нахилу гілок 18o.

Розрахуємо довжину отриманого відрізка після 8 генерацій при довжині первісного «стовбура» рівною 30см. При моделюванні цього дерева довжина кожного наступного відрізка дорівнює 1/3 довжини попереднього. На 8 кроці маємо:

b1=30,
q=1/3,
b8=b1*(1/3)^(n-1),
b8=0,014 див.

Розглянути галерею «Геометричні фрактали навколо нас».

8. Підсумок уроку.